Trade-off : soyons un peu logiques

Dans ce texte, nous étudions un cas réel de Trade-off (méthode CBC) soumis par un de nos clients, dans lequel les prohibitions envisagées initialement ont des conséquences logiques inattendues : elles conduisent à interdire certaines modalités des attributs. Nous donnons quelques pistes pour une analyse logique générale des prohibitions dans ce contexte.

Le contexte

Dans les études de marché, les méthodes de Trade-off sont couramment utilisées pour mesurer l’importance relative de divers attributs caractérisant des produits existants ou futurs, et l’importance relative des modalités de ces attributs. Une méthode particulière — l’analyse CBC (i.e. Choice Based Conjoint analysis) — consiste à présenter à chaque répondant une série de planches, e.g. 10 planches. Chaque planche est composée de plusieurs produits, e.g. 3 produits, parmi lesquels le répondant doit choisir son produit préféré. Les produits sont eux-même définis en termes d’attributs, chacun pouvant prendre plusieurs valeurs parmi un ensemble de modalités.

Prenons l’exemple de 3 attributs, A, B et C, ayant respectivement 4, 5, et 3 modalités :

A = {a1, a2, a3, a4}
B = {b1, b2, b3, b4, b5}
C = {c1, c2, c3}

Un produit possible pourra être par exemple :

p1 = a1b3c2

i.e. tel que A = a1, B = b3 et C = c2.

Prohibitions entre modalités

S’il n’y a aucune incompatibilité entre les modalités des attributs, alors on pourra construire 60 = 4 × 5 × 3 produits possibles, dans cet exemple. Mais il arrive souvent que certaines combinaisons soient impossibles logiquement, pratiquement ou économiquement. On définit alors une liste de prohibitions, i.e. des combinaisons de modalités qui ne doivent pas survenir dans les produits présentés. Par exemple, dire que a4b2 est prohibé signifie qu’aucun produit ne peut être tel que A = a4 et B = b2 simultanément.

Une façon simple, mais fastidieuse, de spécifier les prohibitions consisterait à lister tous les produits prohibés, par exemple a4b2c1, a4b2c2, a4b2c3. Mais il est en général plus efficace et plus compact d’indiquer une liste de combinaisons prohibées, ici a4b2. De même 1a1b3c1, a2b3c1, a3b3c1, a4b3c1 peut s’abréger en b3c1. Mais cette spécification doit être réalisée avec certaines précautions, sans lesquelles des conséquences inattendues peuvent subvenir. C’est précisemment l’objet de ce texte.

Un exemple réel

Je reprend un cas réel que nous avons eu à traiter récemment en le simplifiant. Il y a trois attributs initiaux I, J et K, avec 7, 5 et 6 modalités respectivement. A un certain stade, les prohibitions suivantes avaient été envisagées, chacune étant exprimée sur une paire d’attributs :

Numéro Attributs concernés Combinaisons prohibées
(P1) I*J i7j[23]
(P2) I*K i[123456]k6
(P3) i7k[12345]
(P4) J*K j[23]k[12345]
(P5) j[145]k6

où j[23] désigne J = j2 ou J = j3 ; autrement dit la prohibition i7j[23] équivaut à prohiber tous les produits contenant soit i7j2, soit i7j3.

Une particularité de cet exemple est que chaque prohibition qui fait intervenir l’attribut I porte soit sur i7, soit sur i[123456] i.e. l’ensemble des modalités autres que i7. Un phénomène analogue se produit pour J et K. Ainsi, en effectuant un recodage binaire de chaque attribut initial, a1 = i7 et a2 = i[123456], b1 = j[23] et b2 = j[145], et c1 = k6 et c2 = k[12345], les prohibitions précédentes peuvent se ré-écrire plus simplement en fonction des attributs binaires A, B et C :

Numéro Attributs concernés Combinaisons prohibées
(P1) A*B a1b1
(P2) A*C a2c1
(P3) a1c2
(P4) B*C b1c2
(P5) b2c1

C’est une spécificité de cet exemple que toutes les prohibitions peuvent se ré-exprimer en termes d’attributs binaires. De ce fait, son analyse en est simplifiée, mais la démarche générale présentée par la suite pourrait s’appliquer à n’importe quel autre cas, à n’importe quelle liste de prohibitions.

Gare aux prohibitions

Il ne sera sans doute pas évident à chacun, de prime abord, que ces cinq prohibitions prises conjointement aboutissent en fait à dire que a1 est prohibé, ainsi que b1, et ainsi que c1. En conséquence, des 8 combinaisons a priori possibles de A, B et C, seule a2b2c2 se révèle en fait valide. Un peu de logique formelle nous permettra de nous en rendre compte.

Pour celà, je précise d’abord quatre règles de logique qui sont nécessaires pour la suite :

(R1) x = ∅              ≡ x ⇒ ∅
(R2) (x et y) ⇒ z       ≡ x ⇒ (z ou ¬y)
(R3) (x ⇒ y) et (y ⇒ z) ⇒ x ⇒ z
(R4) x ou ∅             ≡ x

Ici x, y et z désignent des expressions logiques qui peuvent être vraies ou fausses, = se lit “égal” ou “est”, ∅ se lit “faux”, et ¬ se lit “non-” et désigne la négation (contraire) d’une expression. Le symbole ⇒ se lit “implique” et exprime qu’une expression en implique une autre. Enfin, le symbole ≡ se lit “équivaut à” et indique que deux énoncés sont équivalents 1.

De façon plus intuitive, ces règles peuvent s’interpréter comme suit :

  • La règle (R1) est une version du raisonnement par l’absurde : si, à partir d’une expression x, on aboutit (⇒) à quelque chose de faux (∅), alors x est lui-même faux (x = ∅).
  • La règle (R2) permet une réécriture des implications ; nous l’utiliserons avec z = ∅.
  • La règle (R3) exprime la transitivité des implications.
  • Enfin (R4) est une simple règle de simplification.

En quoi ces règles peuvent-elles nous servir ici ? Il suffit d’assimiler une modalité-composée, e.g. a1c2, à une expression logique, «a1 et c2», et de définir sa prohibition par : a1c2 = ∅. Chaque prohibition devient alors un enoncé logique, une liste de prohibitions devient une conjonction (“et”) d’énoncés logiques, et toutes les règles de la logique peuvent alors s’appliquer. Le choix de règles que nous venons de définir conduit à ce que toutes les prohibitions peuvent être exprimées en termes d’implication entre modalités.

Ainsi, à l’aide du jeu restreint de règles ci-avant, la prohibition (P3) portant sur a1c2 peut en effet s’écrire :

a1c2 = ∅ ≡ a1c2 ⇒ ∅        par (R1)
         ≡ a1 ⇒ (∅ ou ¬c2) par (R2)
         ≡ a1 ⇒ c1         par (R4)

en utilisant le fait que, pour un attribut binaire, e.g. C = {c1, c2}, ¬c2 = c1 et ¬c1 = c2. Intuitivement, dire que a1c2 est prohibé signifie qu’on ne peut avoir simultanément a1 et c2, et donc que si on a a1 alors on a nécessairement le contraire de c2, c’est-à-dire c1.

De même, la prohibition (P5), b2c1 = ∅ peut se ré-écrire c1 ⇒ b1, et la prohibition (P1), a1b1 = ∅ se ré-écrit b1 ⇒ ¬a1. En mettant bout-à-bout les trois implications obtenues, et à l’aide de (R3), on aboutit à :

a1 ⇒ c1 ⇒ b1 ⇒ ¬a1

et donc à :

a1 ⇒ ¬a1

ou bien encore, en utilisant à nouveau les règles (R2) et (R3), à :

a1 ⇒ ∅

soit a1 = ∅, ce qui signifie que a1 est prohibé. Puisque la prohibition (P2), a2c1 = ∅ peut s’écrire c1 ⇒ a1, on obtient c1 ⇒ a1 ⇒ ∅, d’où par (R3), c1 ⇒ ∅ et c1 est donc lui aussi prohibé. Enfin (P4), b1c2 = ∅ donne b1 ⇒ c1 d’où b1 ⇒ ∅ et b1 est prohibé également.

Vision alternative

Tout ce qui vient d’être dit peut alternativement, et de façon équivalente, être exprimé sous une forme proche des tables de vérité de la logique. Pour chacune des 8 combinaisons des attributs, A, B et C, possibles, on a indiqué laquelle ou lesquelles des prohibitions P1-P5 la prohibait (“x”) ou non (« »). Les deux dernières colonnes indiquent les combinaisons prohibées lorsque P1, P3 et P5 (resp. P1-P5) sont considérées conjointement.

Attributs Prohibitions Conjointement
A B C P1 P2 P3 P4 P5 P1,P3,P5 P1-P5
a1b1 a2c1 a1c2 b1c2 b2c1
a1 b1 c1 x x x
a1 b1 c2 x x x x x
a1 b2 c1 x x x
a1 b2 b2 x x x
a2 b1 c1 x x
a2 b1 c2 x x
a2 b2 c1 x x x x
a2 b2 b2

On y lit en particulier que c’est la conjonction des prohibitions (P1), (P3) et (P5) qui conduit à prohiber a1. En effet, la prise en compte conjointe de ces trois prohibitions, conduit à prohiber (entre autres) les 4 premières combinaisons de A, B, et C de ce tableau, soit toutes celles qui contiennent la modalité a1. Et on retrouve bien évidemment la conclusion générale précédente, à savoir que seule la combinaison a2b2c2 reste valide lorsque les cinq prohibitions sont intégrées.

Conclusions

Aucune des prohibitions spécifiées P1-P5 n’interdit à elle-seule la modalité a1. Comme on vient de le voir, la prohibition de a1 se fait indirectement par la prise en considération conjointe de P1, P3 et P5. De même, la modalité b1 se trouve interdite par la conjonction de P1, P2 et P4, et la modalité c1 par la conjonction de P1, P2 et P5. C’est pour cette raison — la multiplicité des prohibitions initiales à prendre simultanément en compte — que les prohibitions induites sont difficilement identifiables de prime abord.

Dans le cas précis de cet exemple, au vu des conséquences imprévues des prohibitions initiales, le client a été conduit à finalement réduire la liste des prohibitions à appliquer pour pouvoir mettre en oeuvre le trade-off.

En conclusion, la prise en compte conjointe de plusieurs contraintes peut avoir des répercussions dont on ne se rend pas forcément compte à première vue. Il peut être nécessaire de procéder à une analyse fine et complète des implications logiques de ces contraintes, telle qu’elle a été esquissée ici. Sur un exemple, nous avons montré comment on pouvait explorer toutes les conséquences d’un conjonction de prohibitions. La première approche nous semble plus intuitive, dans la mesure où elle met en avant le fait que toute prohibition ou liste de prohibitions peut s’exprimer par une conjonction d’implications logiques, chacune facilement interprétable.

La seconde approche, basée sur les tables de vérités, assure une prise en compte exhaustive des contraintes et ce de façon simple, et a l’avantage d’être facilement automatisable. Précisons qu’un outil logiciel de GIDE permet de générer automatiquement le tableau ci-avant à partir de la liste des prohibitions.

1 On peut vérifier la validité de chaque règle à l’aide de tables de vérité ; on utilise pour celà les tables de vérité associées aux opérateurs de base : négation “¬”, “et”, “ou (inclusif)”, implication “⇒”. Par exemple, pour la règle (R1), x peut avoir les valeurs V(rai) ou F(aux) ; l’énoncé x = ∅ vaut alors respectivement soit F soit V ; et l’énoncé x ⇒ ∅ vaut alors respectivement soit F soit V. Ainsi, quelle que soit la “valeur de vérité” de x, V ou F, les deux énoncés x = ∅ et x ⇒ ∅ ont la même valeur de vérité, F ou V respectivement ; ils sont donc logiquement équivalents.

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