Équilibres difficiles – Trade Off et Plan d’expérience

Dans la construction du plan (design) d’un Trade-off, on est amené à construire des ”produits” en combinant divers attributs. Lorsque qu’aucune combinaison de modalités des attributs n’est prohibée, il est facile de parvenir à équilibrer les attributs présentés. Mais, dès que des prohibitions sont imposées, alors tous les équilibres souhaitables ne sont pas réalisables simultanément.

Le contexte

Dans les études de marché, les méthodes de Trade-off sont couramment utilisées pour mesurer l’importance relative de divers attributs caractérisant des produits existants ou futurs, et l’importance relative des modalités de ces attributs. Une méthode particulière — l’analyse CBC (i.e. Choice Based Conjoint analysis) — consiste à présenter à chaque répondant une série de planches. Chaque planche est composée de plusieurs produits que le répondant doit évaluer (e.g. indiquer le produit préféré, classer les produits, etc.). Les produits sont eux-même définis en termes d’attributs, chacun pouvant prendre plusieurs valeurs parmi un ensemble de modalités.

Recherche d’équilibre

Génériquement, on notera A, B, etc. les attributs, et {a1, a2, …}, {b1, b2, …}, etc. leurs modalités. Considérons le cas simple où chaque produit est défini par seulement deux attributs, A et B. Si A et B ont chacun kA = 3 et kB = 3 modalités1 , i.e.

A = {a1, a2, a3}
B = {b1, b2, b3}

et que toutes les combinaisons de A et B sont autorisées, il y aura kA×kB = 9 produits possibles, soit

PRO = {a1b1, a1b2, a1b3, a2b1, a2b2, ...}

Notons n le nombre de produits présentés à un répondant (ou à un ensemble de répondants). On peut chercher divers équilibres concernant ces n produits :

  • équilibre sur A, i.e. autant de fois la modalité a1, que la modalité a2, etc., parmi les n produits présentés ;
  • équilibre sur B, i.e. autant de fois la modalité b1, que la modalité b2, etc., parmi les n produits présentés ;
  • équilibre sur PRO, i.e. autant de produits a1b1, que de a1b2, etc., parmi les n produits présentés.

Bien sûr, si n n’est pas divisible par kA, kB ou kA×kB selon le cas, l’équilibre ne peut qu’être approximatif (à une unité près). Écartons ce détail, et plaçons nous dans la situation où n est un multiple du nombre de produits possibles ; il est alors possible de chercher à réaliser strictement chacun des équilibres ci-dessus.

Cas sans prohibition

Dans la situation où il n’y a aucune prohibition, c’est-à-dire où aucune combinaison de modalités n’est interdite, il est possible d’équilibrer sur l’attribut A, sur l’attribut B, sur A et sur B, ou bien encore sur les produits PRO = A × B. Les tableaux qui suivent montrent trois possibilités d’équilibre, sur A, sur A et B simultanément, et sur PRO.

equi1

Comme on le voit dans ces exemples, l’équilibre sur PRO entraîne obligatoirement l’équilibre sur chacun des attributs (tableau droit), mais la réciproque n’est pas vraie : le tableau central montre un cas d’équilibre sur A et B simultanément, sans avoir l’équilibre sur PRO.
Ainsi, pour la construction du design d’un trade-off, il suffira de rechercher l’équilibre (ou le quasi-équilibre) selon PRO pour avoir tous les autres équilibres.

Cas avec prohibitions

Il en va différemment du cas où des prohibitions existent ; tous les équilibres ne sont pas atteignables simultanément. Prenons à nouveau l’exemple de deux attributs A et B avec kA = 3 et kB = 3, mais avec prohibition de la combinaison (donc du produit) a1b1. Le nombre de produits possibles PRO vaut alors 9 − 1 = 8.
Les tableaux qui suivent montrent trois possibilités d’équilibre, sur A, sur A et B simultanément, et sur PRO.

equi2

Mais, à la différence du cas sans prohibition, certains équilibres d’un coté entraînent nécessairement des déséquilibres d’un autre coté :

  • l’équilibre sur A entraîne un déséquilibre sur PRO (tableau gauche) ;
  • l’équilibre sur A et B simultanément reste possible, mais entraîne un déséquilibre encore plus grand sur PRO (tableau central) ;
  • l’équilibre sur PRO entraîne nécessairement un déséquilibre sur A et sur B (tableau droit).

Les recherches d’équilibres conjointes deviennent de plus en plus délicates lorsque le nombre de prohibitions augmentent. Les trois exemples qui suivent en donnent une illustration.

equi3

Les tableaux gauche et central montrent qu’avec deux, puis trois, prohibitions, on peut encore obtenir l’équilibre conjoint sur A et B, mais au prix d’un énorme déséquilibre sur PRO : certains produits possibles doivent ne pas être utilisés (cases d’effectif 0). Le tableau droit, avec quatre prohibitions, montre un cas plus extrême encore où la recherche d’un équilibre sur A entraîne obligatoirement un déséquilibre sur B : la modalité b3 ne peut qu’être sur-représentée par rapport b1 et b2.

En guise de conclusion

Pour la construction du design d’un trade-off, lorsqu’il existe des prohibitions entre modalités des attributs, un choix doit être fait : soit chercher l’équilibre sur les produits possibles PRO, soit chercher l’équilibre sur tel ou tel attribut, A, et/ou B et/ou C, etc.
Dans la seconde option, il peut être nécessaire de spécifier un ordre de priorité des équilibres a rechercher. Si l’équilibre sur un seul attribut, e.g. A est toujours réalisable, on vient de voir que l’équilibre conjoint sur A et B peut ne pas être atteignable. On pourra alors spécifier quelque chose du genre : équilibre strict sur A, puis meilleur équilibre possible sur B, puis meilleur équilibre possible sur C, etc. [Les ”meilleurs” équilibres successifs seront typiquement de plus en plus éloignés de l’équilibre strict.]
L’algorithme de construction implémenté par GIDE permet quant à lui un réglage de la recherche d’équilibre entre les deux extrêmes suivants :

  • l’équilibre sur PRO, l’ensemble des produits possibles ;
  • le meilleur équilibre possible sur les attributs A, B, C, etc., sans les hiérarchiser et sans chercher un équilibre strict sur aucun d’entre eux.
1 Ce texte est illustré avec ce mini-exemple de deux attributs à 3 modalités chacun, mais énonce des règles à caractère général.

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